quadratic ဖော်မြူလာ – ပြဿနာများဖြေရှင်းရန်အတွက်၎င်း၏အနကျအဓိပ်ပါယျနှင့်လျှောက်လွှာ၏ Lucid ရှင်းလင်းချက်

By admin Last updated Apr 8, 2022

quadratic ဖော်မြူလာ၏အနကျအဓိပ်ပါယျ:

ပုဆိန် ^ 2 + bx + c ကို = 0 ရာ (≠ 0 င်), ခဖြေရှင်းနိုင်စေရန်, c ကိုမှန်ကန်အရေအတွက်ကိုတန်ဖိုးများယူနိုငျသောရုံကလွဲပြီးဖြစ်ကြသည်။

ပုဆိန် ^ 2 + bx + c ကို = 0

သို့မဟုတ်ပုဆိန် ^ 2 + bx = -c

တို့ကခွဲဝေ & # 39; တစ်ဦး & # 39; နှစ်ဖက်စလုံးတွင်ကျနော်တို့ရ

x ကို ^ 2 + (ခ / က) က x = -c / တစ်ဦး

သို့မဟုတ်က x ^ 2 + 2x (ခ / 2-) = -c / တစ်ဦး ……… (ဈ)

ညီမျှခြင်း၏ LHS (ဈ) (ပထမသက်တမ်း) ^ 2 နဲ့ 2 (ပထမသက်တမ်း) (ဒုတိယသက်တမ်းအတွက်) ဝေါဟာရများကိုဘယ်မှာလက်သီးသက်တမ်း = x နှင့်ဒုတိယသက်တမ်း = (ခ / 2-) ရှိပါတယ်။

ကျနော်တို့ (ဒုတိယသက်တမ်းအတွက်) ^ 2 add ပါလျှင် {= (ခ / 2-) ^ 2}, ညီမျှခြင်း၏ LHS (ဈ) ပြီးပြည့်စုံစတုရန်းဖြစ်လာသည်။

ညီမျှခြင်း (ဈ) နှစ်ဖက်စလုံးမှ (ခ / 2-) ^ 2 ထည့်သွင်းခြင်း, ငါတို့ရ

x ကို ^ 2 + 2x (ခ / 2-) + (ခ / 2-) ^ 2 = -c / a + (ခ / 2-) ^ 2

သို့မဟုတ် (X + b.2a) ^ 2 = ခ ^ 2 / 4a ^ 2 – က c / တစ်ဦး = (ခ ^ 2 – 4ac) / (4a ^ 2)

သို့မဟုတ် (X + b2a) = ± {{(ခ ^ 2 – 4ac) / (4a ^ 2)} = ± ((ခ ^ 2 – 4ac) / 2-

သို့မဟုတ်က x = -b / 2- ± ((ခ ^ 2 – 4ac) / 2-

သို့မဟုတ်က x = {-b ± ((ခ ^ 2 – 4ac)} / 2-

ဒါက quadratic ဖော်မြူလာဖြစ်ပါတယ်။ (ဆင်းသက်လာ။ )

ငါအမြစ်များရှာဖွေခြင်းအတွက် quadratic ဖော်မြူလာလျှောက်ထား:

ဥပမာအားဖြင့်ငါ (1):

quadratic ဖော်မြူလာကိုအသုံးပြုပြီး = 0 42 – က x ^ 2 + x ကိုဖြေရှင်း။

ပုဆိန် ^ 2 + bx + c ကို = 0 နှင့်အတူဤညီမျှခြင်းကိုနှိုငျးယှဉျရ

တစ်ဦး = 1, ခ = 1 နှင့်က c = -42

ဤနေရာတွင် quadratic ဖော်မြူလာလျှောက်ထားခြင်း, ငါတို့ရ

x = {-b ± ((ခ ^ 2 – 4ac)} / 2-

(1) – (2) (1) – (42)

(1) ± (-1) ± (-1) ± (-1) ± 1 (± -1)

= (-1 + 13) / 2, (-1-13) / 2 = 12/2 = 6 -14/2, -7 ပေးစေလိုပါတယ်။

ဥပမာအားဖြင့်ငါ (2):

quadratic ဖော်မြူလာကိုအသုံးပြုပြီး = 0 6x – 5x ^ 2 – 8 ဖြေရှင်း

-1 အားဖြင့်ပေးထားသောညီမျှခြင်းမပွားများ, ငါတို့ရ

5x ^ 2 + 6x – 8 = 0 (-1) = 0

ပုဆိန် ^ 2 + bx + c ကို = 0 နှင့်အတူဤညီမျှခြင်းကိုနှိုငျးယှဉျရ

တစ်ဦး = 5, ခ = 6 နဲ့ c ကို = -8

ဤနေရာတွင် quadratic ဖော်မြူလာလျှောက်ထားခြင်း, ငါတို့ရ

x = {(-b)) ± ((ခ ^ 2 – 4ac)} / 2-

(5) – (8) (5) – (6)

14) / 10 ± = (-6) ± {{-6}} / 10 = (-6) ± {{196}) / 10 = (-6)

= (-6 + 14) / 10, (-6-14) / 10 = 8/10, -20/10 = 4/5, -2 ပေးစေလိုပါတယ်။

ဥပမာအားဖြင့်ငါ (3):

quadratic ဖော်မြူလာကိုအသုံးပြုပြီး = 0 3 – 2x ^ 2 + 3x ဖြေရှင်း

ပုဆိန် ^ 2 + bx + c ကို = 0 နှင့်အတူဤညီမျှခြင်းကိုနှိုငျးယှဉျရ

တစ်ဦး = 2, ခ = 3 နဲ့ c ကို = -3

ဤနေရာတွင် quadratic ဖော်မြူလာလျှောက်ထားခြင်း, ငါတို့ရ

x = {(-b)) ± ((ခ ^ 2 – 4ac)} / 2-

(2) (3) (2) – (3)

= (-3) ± {{9 + 24}) / 4 = (-3 ± ((33)) / 4 ပေးစေလိုပါတယ်။

II ကိုအမြစ်၏သဘောသဘာဝကိုရှာဖွေရန်:

quadratic ဖော်မြူလာအသုံးပြုပုံပုဆိန်များ၏အမြစ်များ ^ 2 + bx + c ကို = 0 αဖြစ်ကြသည် = {-b + ((ခ ^ 2 – 4ac)} / 2- နှင့်β = {-b – ((ခ ^ 2 – 4ac)} / 2- ။

ကြစို့ (ခ ^ 2 – 4ac) (() မြစ်ဝကျွန်းပေါ်ကိုခေါ်ခြင်းဖြင့်ခေါ်လိုက်ပါမယ်လိမ့်မည်။

ထိုအခါα = (-b + Δ)) / 2- နှင့်β = (-b – Δ)) / 2- ။

အမြစ် (αနှင့်β) ၏သဘောသဘာဝအပေါ်မူတည် ..

((= B, ^ 2 – 4ac) ပုဆိန် ^ 2 + bx + c ကို = 0 ၏ခွဲခြားဆက်ဆံမှုကိုခေါ်ခြင်းဖြစ်သည်။

သုံးအမှုပေါင်း ((= ခ ^ 2 ၏တန်ဖိုးအပေါ် မူတည်. ပေါ်ထွန်း – 4ac) သုညသို့မဟုတ်အပြုသဘောသို့မဟုတ်အပျက်သဘောဖြစ်ပါတယ်။

(ဈ) ((= ခ ^ 2 လျှင် – 4ac) = 0, ထို့နောက်α = -b / 2- နှင့်β = -b / 2-

နှစ်ခုအမြစ်များကိုမှန်ကန်နှင့်တန်းတူဖြစ်ကြောင်း ie ။

= = 0 လျှင်ထို့ကြောင့်ပုဆိန် ^ 2 + bx + c ကို = 0, အစစ်အမှန်နှင့်တန်းတူအမြစ်များရှိပါသည်။

(ii) ((= ခ ^ 2 အကယ်. – 0 4ac)>, အမြစ်များကိုမှန်ကန်နှင့်ကွဲပြားကြသည်။

(ii) (က) ပြီးပြည့်စုံစတုရန်းဖြစ်ပါတယ်လျှင်, အမြစ်များဆင်ခြင်တုံတရားဖြစ်ကြသည်။

စုံလင်သောစတုရန်းမဟုတ်ပါဘူးလျှင် (ii) (ခ), အမြစ်အဓိပ်ပါယျမရှိသောဖြစ်ကြသည်။

(iii) ((= ခ ^ 2 လျှင် – 4ac) ဥပမာအား II ကို (1):

ညီမျှခြင်း၏အမြစ်များ၏သဘောသဘာဝကိုရှာပါ, 5x ^ 2 – = 0 7 – 2x ။

ဖြေရှင်းချက်:

= 0 7 – 2x – ပေးထားသောညီမျှခြင်း 5x ^ 2 ဖြစ်ပါတယ်။

ပုဆိန် ^ 2 + bx + c ကို = 0 နှင့်အတူဤညီမျှခြင်းကိုနှိုငျးယှဉျကျနော်တို့ = = တစ်ဦး = 5, ခရ -2 နှင့်က c -7 ။

ခွဲခြားဆက်ဆံမှု = = = ခ ^ 2 – 4ac = (-2) 2 – 4 (5) (- 7) ^ 2 = 4 + 140 = 144 = 12

အဆိုပါခွဲခြားဆက်ဆံမှုအပြုသဘောနှင့်ပြီးပြည့်စုံစတုရန်းဖြစ်ပါတယ်ကတည်းကပေးထားသောညီမျှခြင်းများ၏အမြစ်များကိုကွဲပြားနှင့်ဆင်ခြင်တုံတရားဖြစ်ကြသည်။ ပေးစေလိုပါတယ်။

ဥပမာအား II ကို (2):

ညီမျှခြင်း၏အမြစ်များ၏သဘောသဘာဝကိုရှာပါ, 9x ^ 2 + 24x + = 0 16 ။

ဖြေရှင်းချက်:

ပေးထားသောညီမျှခြင်း = 0 9x ^ 2 + 24x + 16 ဖြစ်ပါတယ်။

ပုဆိန် ^ 2 + bx + c ကို = 0 နှင့်အတူဤညီမျှခြင်းကိုနှိုငျးယှဉျကျွန်တော်တစ်ဦး = 9, ခ = 24 နဲ့ c ကို = 16 ရ

ခွဲခြားဆက်ဆံမှု = = = ခ ^ 2 – 4ac = (24) ^ 24 (9) (16) = 576 – 576 = 0 ။

အဆိုပါခွဲခြားဆက်ဆံမှုသုညဖြစ်ပါသည်ကတည်းကပေးထားသောညီမျှခြင်းများ၏အမြစ်များကိုမှန်ကန်နှင့်တန်းတူဖြစ်ကြသည်။ ပေးစေလိုပါတယ်။

ဥပမာအား II ကို (3):

= 0 5 – က x ^ 2 + 6x, ညီမျှခြင်း၏အမြစ်များ၏သဘောသဘာဝကိုရှာပါ။

ဖြေရှင်းချက်:

= 0 5 – ပေးထားသောညီမျှခြင်းက x ^ 2 + 6x ဖြစ်ပါတယ်။

ပုဆိန် ^ 2 + bx + c ကို = 0 နှင့်အတူဤညီမျှခြင်းကိုနှိုငျးယှဉျကျနော်တို့ = a = 1, ခ = 6 နဲ့ c ကိုရ -5 ။

4 (1) (- – 5) = 36 + 20 = 56 ခွဲခြားဆက်ဆံမှု = = = ခ ^ 2 – = (6) ^ 2 4ac

အဆိုပါခွဲခြားဆက်ဆံမှုအပြုသဘောနှင့်ပြီးပြည့်စုံသောစတုရန်းမဟုတ်ပါဘူးကတည်းကပေးထားသောညီမျှခြင်းများ၏အမြစ်များကိုကွဲပြားနှင့်အဓိပ်ပါယျမရှိသောဖြစ်ကြသည်။ ပေးစေလိုပါတယ်။

ဥပမာအား II ကို (4):

ညီမျှခြင်း၏အမြစ်များ၏သဘောသဘာဝကိုရှာပါ, x ကို ^ 2 – က x + 5 = 0 ။

ဖြေရှင်းချက်:

= 0 က x + 5 – ပေးထားသောညီမျှခြင်းက x ^ 2 ဖြစ်ပါတယ်။

ပုဆိန် ^ 2 + bx + c ကို = 0 နှင့်အတူဤညီမျှခြင်းကိုနှိုငျးယှဉျကျနော်တို့ = a = 1, ခရ -1 နှင့်က c = 5 ။

ခွဲခြားဆက်ဆံမှု = = = ခ ^ 2 – 4ac = (-1) ^ 2 – = -19 20 – 4 (1) (5) 1 = ။

အဆိုပါခွဲခြားဆက်ဆံခြင်း, အနုတ်ကတည်းက

ပေးထားသောညီမျှခြင်း၏အမြစ်များစိတ်ကူးယဉ်ဖြစ်ကြသည်။ ပေးစေလိုပါတယ်။

III ကိုအမြစ်နှင့်မြှောက်ဖော်ကိန်းများအကြားဆက်ဆံရေးကိုရှာဖွေရန်:

ပုဆိန် ^ 2 များ၏အမြစ်များ + bx + c ကို = 0 α (alpha ကိုခေါ်) နှင့်β (beta ကိုခေါ်) ဖြစ်ပါစေသော။

ထိုအခါ quadratic ဖော်မြူလာဖြင့်

α = {-b + ((ခ ^ 2 – 4ac)} / 2- နှင့်β = {-b – ((ခ ^ 2 – 4ac)} / 2-

= α + βအမြစ်များ၏ပေါင်းလဒ်

= {-b + ((ခ ^ 2 – 4ac)} / 2- + {-b – ((ခ ^ 2 – 4ac)} / 2-

= {-b + ((ခ ^ 2 – 4ac) -b – ((ခ ^ 2 – 4ac)} / 2-

= {-2b} / 2- = -b / တစ်ဦး = – {(x ရဲ့မြှောက်ဖော်ကိန်း) / (က x ^ 2 ကိန်း)} ။

အမြစ် = (α) ၏ထုတ်ကုန် (β)

= {-b + ((ခ ^ 2 – 4ac)} / 2-) ({- ခ – ((ခ ^ 2 – 4ac)} / 2-)

= {- B + ((ခ ^ 2 – 4ac)}) ({- ခ – ((ခ ^ 2 – 4ac)}) / (4a ^ 2)

အဆိုပါ NUMERIC ကျနော်တို့ဝေါဟာရနှစ်ခုကို၏ရင်ပြင်၏ခြားနားချက်ညီမျှသည်ကိုသိတော်မူသောဝေါဟာရနှစ်ခုကို၏ပေါင်းလဒ်နှင့်ကွာခြားချက်တစ်ခုထုတ်ကုန်ဖြစ်ပါတယ်။

ထို့ကြောင့်မြစ်များကုန်ပစ္စည်း = αβ

= ((-b) ^ 2 – {((ခ ^ 2 – 4ac)} ^ 2) / (4a ^ 2)

(4a ^ 2) = (4a ^ 2) = (4a ^ 2) = (4a ^ 2) = (4a ^ 2)

= က c / တစ်ဦး = (စဉ်ဆက်မပြတ်အသုံးအနှုန်း) / (က x ^ 2 ကိန်း)

ဥပမာအား III ကို (1):

ညီမျှခြင်း 3x ^ 2 + 2x + 1 = 0 ၏အမြစ်များများ၏ပေါင်းလဒ်နှင့်ထုတ်ကုန်ကိုရှာပါ။

ဖြေရှင်းချက်:

ပေးထားသောညီမျှခြင်း = 0 + 1 3x ^ 2 + 2x ဖြစ်ပါတယ်။

ပုဆိန် ^ 2 + bx + c ကို = 0 နှင့်အတူဤညီမျှခြင်းကိုနှိုငျးယှဉျကျွန်တော်တစ်ဦး = 3, ခ = 2 နဲ့ c ကို = 1 ရ။

= -b / တစ်ဦး = -2/3 အမြစ်၏ sum ။

= က c / တစ်ဦး = 1/3 အမြစ်များ၏ကုန်ပစ္စည်း။

ဥပမာအား III ကို (2):

px + pq = 0 – ညီမျှခြင်းက x ^ 2 များ၏အမြစ်များများ၏ပေါင်းလဒ်နှင့်ထုတ်ကုန်ကိုရှာပါ။

ဖြေရှင်းချက်:

px + pq = 0 – ပေးထားသောညီမျှခြင်းက x ^ 2 ဖြစ်ပါတယ်။

ပုဆိန် ^ 2 + bx + c ကို = 0 နှင့်အတူဤညီမျှခြင်းကိုနှိုငျးယှဉျကျနော်တို့ = -p နှင့်က c = pq ခတစ်ဦး = 1 ရ။

(- – p) / 1 = p = -b / တစ်ဦး = အမြစ်၏ sum ။

= pq / 1 = pq အမြစ် = က c / တစ်ဦး၏ကုန်ပစ္စည်း။

ဥပမာအား III ကို (3):

ညီမျှခြင်း LX ^ 2 + lmx + lmn = 0 ၏အမြစ်များများ၏ပေါင်းလဒ်နှင့်ထုတ်ကုန်ကိုရှာပါ။

ဖြေရှင်းချက်:

ပေးထားသောညီမျှခြင်း LX ^ 2 + lmx + lmn = 0 ဖြစ်ပါတယ်။

ပုဆိန် ^ 2 + bx + c ကို = 0 နှင့်အတူဤညီမျှခြင်းကိုနှိုငျးယှဉျကျနော်တို့ = LM နှင့်က c = lmn ခတစ်ဦး = ဌရ။

(LM) / ဌ = -m – အမြစ် = -b / တစ်ဦး = ၏ sum

အမြစ် = က c / တစ်ဦး = lmn / ဌ = သန်း၏ကုန်ပစ္စည်း။

မြစ်များကိုပေးအပ်ထားတယ်သော quadratic equation ကိုရှာဖွေရန် IV:

αစို့နှင့် quadratic ညီမျှခြင်း၏အမြစ်များဖြစ်β။

(က x – β) = 0 – ထိုအခါကျနော်တို့ (α x) ကိုငါတို့သိကြ၏။

သို့မဟုတ်က x ^ 2 – (α + β) က x + αβ = 0 ။

သို့သော်, (α + β) = အမြစ်များ၏ပေါင်းလဒ်နှင့်အမြစ်များαβ = ကုန်ပစ္စည်း။

လိုအပ်သောညီမျှခြင်းက x ^ 2 ဖြစ်ပါသည် – (ထိုအမြစ်များပေါင်းလဒ်) က x + (အမြစ်များထုတ်ကုန်) = 0 ။

(α + β) က x + αβ = 0 – ထို့ကြောင့်မြစ်များαနှင့်βနှင့်အတူ quadratic ညီမျှခြင်းက x ^ 2 ဖြစ်ပါတယ်။

ဥပမာအား IV (1):

သူ၏အမြစ်များ 3 ဖြစ်ကြ၏ quadratic ညီမျှခြင်းကိုရှာပါ -2 ။

ဖြေရှင်းချက်:

ပေးထားသောအမြစ်များ, 3 များမှာ -2 ။

အမြစ်၏ sum = 3 + (-2) 3 = – = 1 2;

အမြစ်များ၏ကုန်ပစ္စည်း = 3 x ကို (-2) = -6 ။

ကျနော်တို့အဘယ်သူ၏အမြစ်တို့တွင်ပေးထားနေသော quadratic ညီမျှခြင်းက x ^ 2 သိ – (ထိုအမြစ်များပေါင်းလဒ်) က x + (အမြစ်များထုတ်ကုန်) 0 = ။

ဒါကြောင့်လိုအပ်တဲ့ညီမျှခြင်းက x ^ 2 ဖြစ်ပါသည် – (1) က x + (-6) = 0 ။

ဆိုလိုသည်မှာ x ကို ^ 2 – က x – 6 = 0 ပေးစေလိုပါတယ်။

ဥပမာအား IV (2):

အဘယ်သူ၏အမြစ်များ LM, သန်းဖြစ်ကြ၏ quadratic ညီမျှခြင်းကိုရှာပါ။

ဖြေရှင်းချက်:

ပေးထားသောအမြစ်များ LM, သန်းရှိပါတယ်။

= LM + သန်း = မီတာ (ဌ + N) ကိုအမြစ်များ၏ပေါင်းလဒ်;

အမြစ် = (LM) (သန်း) = ဌ (ဍ ^ 2) ဎ၏ကုန်ပစ္စည်း။

ဒါကြောင့်လိုအပ်တဲ့ညီမျှခြင်းက x ^ 2 – မီတာ (ဌ + ဎ) က x + ဌ (ဍ ^ 2) ဎ = 0. ပေးစေလိုပါတယ်။

ဥပမာအား IV (3):

အဘယ်သူ၏အမြစ်များဖြစ်ကြသည် (5 + 77), (- 77 5) quadratic ညီမျှခြင်းကိုရှာပါ။

ဖြေရှင်းချက်:

77 – ပေးထားသောအမြစ်များ 5 + 77, 5 ဖြစ်ကြသည်။

အမြစ်၏ sum = (5 + 77) + (5 – 77) = 10;

အမြစ်များ၏ကုန်ပစ္စည်း = (5 + 77) (5 – 77) 5 ^ 2 = – (77) ^ 2 = 25 – 7 = 18 ။

ဒါကြောင့်လိုအပ်တဲ့ညီမျှခြင်းက x ^ 2 – (10) X + (18) = 0 ။

ဆိုလိုသည်မှာ x ကို ^ 2 – 10x + 18 = 0 ပေးစေလိုပါတယ်။

Source by Kalagara Venkata Lakshmi Narayana